Ich habe noch einmal ChatGPT zum Thema gefragt und bekam diese Antwort:
Die
erweiterte Binomialverteilung bezieht sich auf Situationen, in denen man die Wahrscheinlichkeit mehrerer nicht disjunkter (sich nicht gegenseitig ausschließender) Ereignisse untersucht. Die herkömmliche Binomialverteilung setzt voraus, dass jedes Ereignis unabhängig und nur entweder ein Erfolg oder ein Misserfolg ist. Bei der erweiterten Binomialverteilung betrachten wir jedoch eine Menge von Ereignissen, die nicht unbedingt unabhängig und deren Wahrscheinlichkeiten in Summe größer als 1 sein können.
Stellen wir uns vor, wir haben Ereignisse \( A_1, A_2, ..., A_k \) mit Wahrscheinlichkeiten \( P(A_1), P(A_2), ..., P(A_k) \). Diese Ereignisse sind nicht notwendig disjunkt, was bedeutet, dass sie sich überlappen können, und die Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten kann größer als 1 sein.
### Berechnung
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Kombination dieser Ereignisse untersuchen wir die Möglichkeit, dass verschiedene Kombinationen der Ereignisse eintreten. Nehmen wir an, dass ein zufälliges Experiment \( n \)-mal durchgeführt wird, und wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bestimmte Kombinationen dieser Ereignisse in genau diesen \( n \) Versuchen auftreten.
### Erweitertes Inclusion-Exclusion Prinzip
Ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung solcher Wahrscheinlichkeiten ist das
Inklusions-Exklusions-Prinzip (inclusion-exclusion principle), das verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung mehrerer nicht-disjunkter Ereignisse zu finden. Es lautet im Allgemeinen:
\[ P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq k} P(A_i \cap A_j) + \sum_{1 \leq i < j < m \leq k} P(A_i \cap A_j \cap A_m) - ... + (-1)^{k+1} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_k) \]
### Anwendung auf n Versuche
Um solche Wahrscheinlichkeiten über \( n \) Versuche hinweg zu kombinieren, berücksichtigt man oft komplexe Wahrscheinlichkeiten und Kombinatorik:
1.
Berücksichtigung von mehrfachen gemeinsamen Ereignissen: Weil sich Ereignisse überschneiden können, sollten die Schnittmengen der diversen Kombinationen von Ereignissen berücksichtigt werden.
2.
Multivariate Binomialverteilung: In Fällen, wo man die Verteilung mehrerer abhängiger und häufiger auftretender Ereignisse berücksichtigt, müssen Techniken der multivariaten Statistik und verallgemeinerten binomialen Verteilungen (z.B. Hypergeometrische Verteilungen) angewandt werden.
### Beispiel
Angenommen, wir haben zwei Ereignisse \( A \) und \( B \) mit \( P(A) = 0.6 \) und \( P(B) = 0.5 \), und die Wahrscheinlichkeit ihrer gleichzeitigen Eintretens ist \( P(A \cap B) = 0.3 \).
Die Wahrscheinlichkeit wenigstens eines dieser Ereignisse bei einem einzelnen Versuch zu beobachten ist:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 \]
Wenn man dies nun auf \( n \) Versuche ausdehnt, muss man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine bestimmte Anzahl von Versuchen dieses kombinierte Ereignis trifft, was deutlich komplexer wird und eine tiefergehende Analyse der möglichen Kombinationen und deren Wahrscheinlichkeiten erfordert.
### Zusammenfassung
Die erweiterte Binomialverteilung bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mehrerer, sich möglicherweise überschneidender Ereignisse in bestimmten Versuchen. Diese Art von Analyse erfordert die Anwendung des Inklusions-Exklusions-Prinzips, Kombinatorik und gegebenenfalls Techniken der Multivariaten Statistik.
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@Steffen Könnte man Math hier im Forum aktivieren (
https://xenforo.com/community/resources/math.6386/)?
Klar, kann Spieler 2 auch die gesamten Spiele gewinnen, es ist nur etwas weniger wahrscheinlich, je mehr gespielt wird.
